常用十个泰勒展开公式是什么

泰勒展开公式是数学中用于近似计算函数在某一点附近取值的多项式方法。以下是十个常用的泰勒展开公式：

1. 指数函数

$$e^x = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\ldots + \\frac{x^n}{n!} + \\ldots$$

2. 自然对数函数

$$\\ln（1+x） = x - \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^3}{3} - \\ldots + （-1）^{k-1} \\frac{x^k}{k} + \\ldots \\quad （|x| < 1）$$

3. 正弦函数

$$\\sin x = x - \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^5}{5!} - \\ldots + （-1）^{k-1} \\frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!} + \\ldots \\quad （x < \\infty）$$

4. 余弦函数

$$\\cos x = 1 - \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^4}{4!} - \\ldots + （-1）^k \\frac{x^{2k}}{（2k）!} + \\ldots \\quad （x < \\infty）$$

5. 反正弦函数

$$\\arcsin x = x + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{x^3}{3} + \\frac{1 \\cdot 3}{2 \\cdot 4} \\cdot \\frac{x^5}{5} + \\ldots + \\ldots \\quad （|x| < 1）$$

6. 反余弦函数

$$\\arccos x = \\pi - \\left（ x + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{x^3}{3} + \\frac{1 \\cdot 3}{2 \\cdot 4} \\cdot \\frac{x^5}{5} + \\ldots + \\ldots \\right） \\quad （|x| < 1）$$

7. 反正切函数

$$\\arctan x = x - \\frac{x^3}{3} + \\frac{x^5}{5} - \\ldots + \\ldots \\quad （|x| < 1）$$

8. 双曲正弦函数

$$\\sinh x = x + \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^5}{5!} + \\ldots + （-1）^{k-1} \\frac{x^{2k+1}}{（2k+1）!} + \\ldots \\quad （x < \\infty）$$

9. 双曲余弦函数

$$\\cosh x = 1 + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^4}{4!} + \\ldots + （-1）^k \\frac{x^{2k}}{（2k）!} + \\ldots \\quad （x < \\infty）$$

10. 双曲反正切函数

$$\\text{arctanh } x = x + \\frac{x^3}{3} + \\frac{x^5}{5} + \\ldots + \\ldots \\quad （|x| < 1）$$

这些公式在解决微积分问题、求极限、数值计算等方面非常有用。需要注意的是，泰勒展开式中的余项（如$o（（x-a）^n）$）表示高阶无穷小，当$x$趋近于某一点$a$时，余项可以忽略不计

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